设A为Banacb空间X上的有界线性算子，λ0∈&r...

问答题 设A为Banacb空间X上的有界线性算子，λ₀∈ρ（A），又设{A_n}为X上一列有界线性算子，且‖A_n-A‖=0，证明当n充分大后，A_n也以λ₀为正则点，

1.问答题设λ为线性算子Aⁿ的特征值，则λ的n次根中至少有一个是算子的特征值

2.问答题 设F是平面上无限有界闭集，{α_n}是F的一稠密子集，在ι²中定义算子T:
Tx=T(x₁,x₂,...,x_n,...)=(α₁,x₂,...,α_nx_n,...)
则α_n都是特征值，σ（T）=F，F\{α_n}中每个点是T的连续谱。

3.问答题设X=ι²，Ax=A（x₁，x₂，...，x_a...）=（x₂，x₃，...，x_n...），试求σ（A）

4.问答题 设X=C[O，2π]，（Ax）（t）=e^itx（t），x∈X，证明
σ（A）={λ||λ|=1}

5.问答题设X=C[0，1]，（Ax）（t）=tx（t），x∈X。证明σ（Λ）=[O，1]，且其中没有特征值。

6.问答题 设T为定义在复Hibert空间X上的有界线性算子，若存在常数α＞0，使＜Tx,x＞＜tx,x＞≥α₀＜/tx，x＞＜x，x＞，则称T为正定的。证明：正定算子T必有有界逆算子T^-1，并且＜tx，x＞＜x，x＞‖T^-1‖≤＜/x，x＞＜/tx，x＞

7.问答题 设A及B是定义在llibert空X上的两个线性算子,满足
＜Ax，y＞=＜x，By＞＜x，by＞
其中x，y为X中任意向量，证明A是有界算子。

8.问答题用团图像定理证逆算子定理。

9.问答题 设T是Banach空间X到賦范线性空间F中的线性算子，令
M_n={x|‖Tx‖≤n‖x‖}，n=1，2，...，
证明：总有M_n0在X中稠密。

10.问答题 设X是线性空问，||x||₁和||X||₂是X上两个范数，若X按||x||₁及||x||₂都完备，并且由点列{x_n}按||x||₁收敛于0，必有按||x||₂也收敛于0，证明存在证书a和b,使
a||x||₁≤||x||₂≤b||x||₁